왜 음수 곱하기 음수는 양수일까?

처음 배웠을때 그냥 말에서 아니지 않다가 부정 + 부정 = 긍정 되는거 처럼 간단하게 생각하고 넘어갔는뎈ㅋㅋㅋㅋㅋ

제가 과외할 때 가끔 들었던 비유입니다
1. 일당 10만원 3일 일함 : 10 × 3 = 30만원 이득
2. 3일동안 10만원씩 사용 : -10 × 3 = 30만원 감소
3. 일당 10만원 3일 일하기 전 과거 : 10 × -3 = 30만원 감소
4. 3일동안 10만원 쓰기 전의 과거 : -10 × -3 = 30만원 증가
소비라는 -와 과거시점이라는 -는 곱할 수 있으며 이는 +임을 충분히 상식적으로 이해할 수 있습니다 :) 많은 분들이 알아가시길...

마이너스 개념부터 배우면 너무나도 이해하기 쉽죠. 저는 좌표상의 위치로 배워서 그런지 방향성의 의미로 더 와닿았던 기억이 있네요. 방향을 역에서 역으로 하면 다시 정방향이라고 정의해서 그뒤론 엑스축 와이축 제트축의 개념에서 -가 반전을 뜻하는것으로 이해하니 그래프도 이해하기가 편해지더라구요.

수학을 공부하면서 의문이 드는 점이 많았고 결국 외우게 됬는데 영상으로 차근차근 증명한 것을 보니 음수랑 음수 곱하면 양수 된다는 것은 쉽고 당연한 얘기였네요! 호기심을 해결해주셔서 감사합니다

예전에 배울 때도 진짜 궁금했다가 어설프게 넘어갔던건데 이런 주제까지 이렇게 쉽고 간단하게 알려주시니까 너무 좋네요! 감사드려요ㅋㅋ
(ㅋㅋㅋㅋ썸네일 때문에 로지컬님이랑 콜라보하신 건줄 알았네요ㅋㅋㅋ)

어릴때 아빠가
아픈건 안좋으니까 -지?
그리고 없애는것도 -지?
아픈걸 없애는건 좋은거니까 +인거야
이렇게 설명해주길래
이거 그대로 믿고 아무 의심없이 넘어감 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

한 러시아 교수가 긍정과 긍정이 만나면 부정이 될 수 없다고 했습니다. 그떄 한 한국인 학생이 말했습니다.
"잘도 그러겠다."

초등학교: 작은 수에 큰 수를 뺄 수는 없답니다.
중학교: 짜잔~ 사실 음수가 있다. 근데 루트 마이너스는 불가능!
고등학교: 루트 -1을 허수 i로

나는 나중에 배울때 - +는 방향의 성질이라 그래프에서 0(원점)기준으로 앞(오른쪽 양수방향) 뒤(왼쪽 음수방향) 일때, +는 그대로 앞으로 가면 되고 -는 뒤로 가면 된다고 배움. 거기서 뒤로 가는거에서 또 뒤로 돌면,다시 뒤로 돌아가는 것이므로 양수가 된다고 이해함.

영상 너무 좋은데 사물궁이 채널에서 이 내용을 보게될줄은 ㅋㅋㅋㅋㅋ 약간 초중딩때 이론 좋아해서 말 많으신데 수업 진도는 항상 느린 쌤들이 이 얘기 해주신 기억도 생각나네요...

좋은 영상 감사합니다. 저만의 일반화는 수직선에서 거꾸로 방향을 바꾸어주는 것이 마이너스를 붙인다 또는 마이너스1을 곱한다 였습니다.ㅎ 일반화라는 것. 굉장히 중요한 이해의 고리가 되는군요.

수학교육과 학생들이 수교론 시간에 배우는 형식불역의 원리 그 자체네요...ㅎㅎ 학교 수학 시간에 학생들에게 짧게 보여줘도 좋을 것 같은 영상이네요. 잘 보고 갑니다...ㅎㅎ

이거 보고 낮잠 한숨 잤습니다, 감사합니다!

수학 문제 풀면서..한번쯤 왜 음수곱하기음수는 양수인지에 대한 궁금증이 있었는데..ㅋ이것에 대해 다뤄주셔서 너무 좋아요ㅎㅎ

정말 깔끔하게 설명이 되어있네요!
다른예로는 0!=1로 한다거나 조금 더 어렵게 가면 함수의 해석적 확장이 있습니다. 리만가설의 핵심이 되는 제타함수도 이런 확장을 거쳐 만든 함수이지요.

오늘도 좋은 영상이네요

헐 진심 항상 궁금했던거
배우면서 어이없었음ㅋㅋㅋ

복소평면에서 -1을 곱하면 반시계방향으로 180° 회전하므로 1에 -1으로 곱하면 -1, -1에 -1을 곱하면 다시 돌아와서 1

음수끼리의 곱이 양수가 나온다는 당연하게 생각하던 사실을 쉽게 잘 풀어서 설명해 주신 것 같아요. 모든 것이 수학적으로 근거가 명확하게 존재하는 결과물이었네요

2:52
체계를 확장시킬 때 기존 체계에서 인정된 성질이 유지되도록 한다는 '형식 불역의 원리' 같은 경우 고교 세특에서 써먹기 좋습니다!

ㄹㅇ 궁금했는데 여쭤보기는 그래갖고 감사합니다

막상 이걸 처음 배우게되는 중학교 1학년에게 이런 방식으로 가르치기는 쉽지 않은데 그 이유는
1. 일단 분배법칙이 음수x음수 보다 진도상 나중에 배치되어 있기 때문입니다.
2. 배우는 순서를 수학쌤이 임의로 하여 분배법칙을 먼저 가르치더라도 이런 증명이 음수x음수=양수가 된다는 것을 직접 계산에 적용하는 연습을 해야한다는 것은 변하지 않고 연습을 하다보면 앞선 증명은 사라지고 걍 당연하게 받아들이기 때문입니다.
그럼에도 불구하고 이런 영상이 유용하거나 이해하는데 도움이 되는 이유는
1. 대부분 시청자들이 이미 분배법칙과 몇 가지 중등수학 지식을 알고 있는 상태라서 생애 처음 중1이었던 그때보다 이해력이 높아졌거나 익숙하기 때문입니다.
2. 내용이 무엇이든 사물궁이님께서 설명해주시면 기분이가 좋기 때문입니다.

유익한 정보!!

캐릭터 너모 귀엽자나!!

로지컬님 뺨치..... 아니 천재적이네요.

철학적으로 보자면 부정의 부정은 긍정이라 볼수있고 물리학 혹은 벡터의 관점에서 보면 음수는 방향이 반대인 것을 사용하면 쉽게 이해할 수 있습니다

수면에 많은 도움을 주셔서 감사합니다

사물궁이 님 저희가 미쳐 궁금하거나 엄두가 나지 않아 못하거나 알지 못한 거를 이렇게 영상으로만들어서 쉽고이해가 잘됬어요 특히수학할떄 궁금했는데 감사합니다

가장 간단하게 증명하는 방법은
x축 위의 수직선에서 양수는 순방향으로 가고
음수는 역방향으로 가는 원리를 이용하면 됨.
(음수)*(음수)=역방향의 역방향이기 때문에
결국 순방향임.

수학이라는 학문 특성상 이런식으로 풀어주면서 논리적으로 이해가능한 베이스를만드는게 중요하긴한데 문제는 학교에서 이렇게 가르치려면 진도나가는게 답이없어지니 그냥 묻지말고 외워가 되버림

캐릭터들이 귀엽고 설명도 잘하셔서 잘 봤습니다

사물궁이님 수학시간에 이 영상 봤는데
너무 반가웠어요(•ᴗ•)

2:11 수학얘기 하다보면 "곱을" 이라고 읽어야되는거 "곲을" 이라고 읽게되더라고요
2:16 곲이

공학도 입장에서 -는 반대방향의 의미를 가지고 있어서
-반대로 가고 거기서 -하면 반대의 반대로 가서 결과적으로 +방향
이상 공학자의 생각이었습니다.

소리 껐을때 제일 좋은 채널 No.1

오..궁금했던 건데 감사합니다!

비슷한 과정을 지수에서도 차원에서도 여기저기서 다 볼수있죠 지수에 복소수 들어가는거 보고 참..

작대기가 하나면 음수, 두개면 양수ㅋㅋㅋㅋ

더 궁금해졌어요!

유튜브에서 형식불역의 원리를 보니깐 되게 반갑네요 ㅋㅋㅋ

신나라~☆ 수포자는 조용히 볼 뿐임니드아...

와 처음으로 제목보고 별로 궁금하지 않았다

아주 유익한 영상

당연하게 알고있게된건데
어떻게 설명하지? 순간 멍...
잘보고가요^^

이거 우리 고등학교 수학쌤이 깜짝 퀴즈로 낸 건데..ㅋㅋㅋㅋ -1×-1=1을 증명해보라고.. 당연히 아무도 못 풀었고 생각보다 간단한 증명에 다들 놀랐던 기억이 있네요.

사물궁이 섬네일도 로지컬처럼 됐엌ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

헐.. 한 번도 생각안해봤었는데 허허 꿀잼이네

초딩 때 이거 너무 궁금했는데 아무도 안 알려줬었는데ㅠㅠㅠ 감삽니다

와 너무 신기하네요 하루전부터 계속 이 고민을 하고 있었는데 ㅋㅋㅋㅋㅋ 사물궁이는 제 머릿속을 해킹하는 거 같습니다 ㅋㅋㅋ

더 합리적으로 따져보자면 이렇게도 할 수 있습니다..
5 x 2 = 10 , 4 x 2 = 8 , 3 x 2 = 6 , 2 x 2 = 4 , 1 x 2 = 2 , 0 x 2 = 0 이렇게 나열해놓은 식에서, 앞의 수가 1이 작아질수록 결과가 2씩 작아진다는것을 알수있습니다.
따라서 -1 x 2 는 0에서 2가 작아진수로, -2라 할수있습니다. 정리하면 음수 x 양수 = 음수입니다. 이를 이용해 다시 나열해본다면,
-2 x 3 = -6 , -2 x 2 = -4 , -2 x 1 = -2 , -2 x 0 = 0 입니다. 여기서는 뒤의 수가 1씩 작아질수록 결과가 2씩 증가한다는것을 알수있습니다.
따라서 -2 x -1 은 0에서 2가 증가한수로, 2라 할수있습니다. 따라서 음수 x 음수 = 양수임이 설명되었습니다.
이렇게 수를 나열해 규칙성을 찾는것으로도 음 x 음 = 양 을 설명할 수 있습니다.

중학생인 저에게 유익하네요 잘봤습니다!!!

재밌어용

곱 발음은 [곲]이 아닌 [곱] 그대로입니다..
ex)두 수의 곱은 -> 1.[곱쓴] X
2.[고븐] O

논리회로의 개념으로 봐도 되고 복소평면 개념으로 봐도 되고 벡터의 개념으로 봐도 증명이 가능한 공학도가 되실분들 없나요

고마워요 스피드 웨건!

와~~~^^ 감사

마이너스는 그냥 역벡터처럼 방향을 반전시켜준다는 개념으로 생각하면 됩니다,, ! 수직선에서 + 방향으로 가는 것을 마이너스 기호를 붙여줌으로서 - 방향으로 반전시켜 줄 수 있는 거죠.. 근데 마이너스가 두 개 있으면 방향이 두 번 반전되니까 다시 원래대로 + 방향이 되겠죵

사실 a를 b번 센다는 개념은 이미 실수×실수 범주에서 벗어나버렸죠
음수×음수에서 태클거는건 타이밍 놓친것

수학적으로 엄밀한 설명은 아니지만 수직선에서의 방향성으로 말하는 게 가장 쉽게 와닿더라고요. 분배법칙으로 푸는 건 결국 음수라는 추상적 개념을 이해하기 위해 *또 다른 추상적 개념* 을 쓰는 셈이니까요. 증명이 아니라 이해하는데 쓰기엔 부적합하죠.
기본적으로 자연수(양의 정수)에서만 생각했을 때 수직선에서 덧셈은 오른쪽(커지는, 0에서 멀어지는), 뺄셈은 왼쪽(0에 가까워지는)으로의 방향성을 가진 연산임을 생각하면 마찬가지로 양수도 오른쪽, 음수도 왼쪽이라고 이해할 수 있죠.
5 - 3 에서
(+5) - (+3) 을 (+5) + (-3)라고 바꿀 수 있듯이
덧셈 뺄셈과 양수 음수가 (적어도 실수 범위 내에서는) 본질적으로 같은 개념 취급할 수 있으니까요.
이런 기준에서 음수 자체가 다르게 표현하면 양수에 -1을 곱하였음을 생각하면
-를 곱한다는 것은 방향을 바꾸는 것, 다르게 말하자면 0을 기준으로 180도 회전시키는 것과 같죠.
따라서 음수에 음수를 곱하면 왼쪽에서 다시 회전하여 오른쪽이 됩니다.
* 마찬가지로 허수는 제곱해야 음수가 되므로
0을 기준으로 90도 회전

으아 해결이 안되고 더 궁금해졌어

배울때 뭐지 저게 왜? 이러면서 그냥 외웠던건데 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 신기하네요

이거 그냥 문제집보고 그렇구나하고 외우는거 국룰 아니냐고 ㅋㅋㅋㅋㅋ 아니 원리를 안알려줌ㅋㅋ큐ㅠㅜ

고마워요 스피드웨건

이제 나레이션도 좋아졌네 이상하게 띄어 읽곤 했는데 이젠 영상보기도 좋다

역시 우리 교육과정에는 의문을 가질수 있는건 어렵더라도 대충이라도 설명해 줘야한다고 생각합니다

수학에서 잘 이해가 되지 않는 개념들은
그래프를 통해 기하학에 전개하면
의미있는 내용을 얻을 수도 있습니다.

영상 다 보고 드는 생각은
역시 주입식 교육이 짱이네
우주의 비밀 풀 사람 아니면 걍 외우고 지나가는게 편해

처음으로 사물궁이가 가르쳐줬는데도 이해가 안가는 궁금증이네요 ㅜ,ㅜ

중1때 처음배웠을때 간단하면서도 제일 이해가되지않은 문제였음
왜 음수x음수=양수냐고 여러곳에 물어보니까 최종답변이 그냥 공식이니까 외워라라는 답변이 충격적이었는데 여기서 풀게되네요

사물궁이님도 곱이를 [곱시] 라고 발음하시네요. 어디서 온 발음일지 궁금.. 생각보다 저렇게 발음하시는 분들이 많더라고요.

-를 짝수 곱하면 +가 된다는 개념만 알고 있었는데 더 자세히 알게 되어서 기분이 좋네용 ㅎㅎ
이런 좋은 영상 올려주셔서 감사합니당~

지식채널 감사 합니다 ❤🧡💛💚💙💜💗🖤

결론: 중1 수학에 교환법칙과 결합법칙을 정수의 사칙계산 들어가기 전 알려주는건 다 이런 이유가 있다...

2:48 기존의 영역에서 성립하던 성질을 유지하면서 영역을 확장해 나가는 것을 '형식 불역의 원리' 라고 합니다
2x3=6
2x2=4
2x1=2
2x0=0
값이 2씩 줄어들고 있죠? 그렇다면
2x(-1)=-2 로 확장시켜 나가면 되겠구나! 가 바로 형식 불역의 원리!

엄청 길고 복잡한 증명 할줄알았는데 엄청 간단하네요 ㅋㅋㅋ

덕분에 반전술식을 터득했습니다. 감사합니다.

다음번에는 허수는 왜 대수비교가 불가능할까에 대해서도 해주세요!

팩토리얼도 고등학교까진 자연수에서만 가능하지만 감마함수라는것을 적용하면 더 넓은 수의범위에서도 적용가능합니다😉

어젯밤에 잠이 안와서 유툽보다가 이거보고 잠들었는데 내용이 생각안나서 지금 다시

머리가 띵하다

저 씽씽이도 덕분에 수학능력+1 하고 갑니다🧮

제가 수학 전문가는 아니지만, 제가 배운 내용에 의하면 “채”와 “순서 채” 라는 개념을 쓸 수도 있을 것 같네요.
여기서 채는 특정 수의 집합인데 채의 공리를 살펴보면 (책의 예시 중 하나인 실수로 생각하면 이해하시기 편합니다)
x, y, z 가 채 안에 있다면:
x+y와 xy는 채 안에 있다
x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
모든 x에게는 -x와 x^-1가 존재하고, x+(-x)=0과 (x)(x^-1)=1 (후자는 x가 0이 아니라는 전제 하에).
x+0=x
x*1=x
x(y+z)=xy+xz
이걸 이용해 우리가 아는 사칙연산 관련된 여러 가지를 증명할 수 있습니다. (특히 마지막 공리가 곱셈과 덧셈을 엮기 때문에 0이 덧셈으로 정의가 돼도 0x=0을 증명할 수 있는 거죠).
그럼 한발 더 나아가서 순서 채는 채 중에서도 부등식이 성립되는 채를 다룹니다. 여기에서 음수와 양수의 개념이 성립됩니다.
순서 채의 공리는:
모든 채의 공리+ 채 안에 있는 모든 x는 양수거나, -x가 양수거나, x=0이다 (이 중 정확히 한 경우만 사실일 수 있다). 또한 양수 곱하기 양수는 양수라고, 양수 더하기 양수도 양수이다.
따라서 양수를 p라 부르면 부등식을 정의 할 수 있죠:
예로, x> y x-y가 양수일 때.
허수는 순서 채의 공리에 맞지 않음으로 음수와 양수의 개념이 성립되지 않습니다.
답글로 음수 곱하기 음수는 양수라는 걸 증명해 보죠.

진짜 ㄹㅇ 궁금했던걸 지금 보다니

다른것보다도 수학은 최대한 일반화시켜야 한다가 포인트네요

수학쌤인데 몰랐네요
앞으로 질문하는 애들이 있으면 이렇게 알려줘야겠네요

수직선에서 곱하면 오른쪽으로 가는데 음수를 곱하면 0을 기준으로 반대로 반전되어 가고 음수×음수는 왼쪽으로 가던걸 반대로 뒤집어서 양수가 되는거인거 같습니다

가끔씩 눈을 감고 어떠한 상상을 할 때 뭐랄까 마음대로 잘 그려지지 않는다랄까요
예를 들면 정면에서 창문을 통해 바깥에 있는 꽃을 보고 싶은데 실상 그려지는 모습은 계속 창문의 위치가 위로 올라간다던가
저만 그런것 같기도 하고 궁금하기도 해서 올려봅니다 ㅋㅋㅋㅋ

좋았어!완벽하게 이해했다

교과서에서는 다음과 같이 이해시키더라고요
-1 x 2 = -2
-1 x 1 = -1
-1 x 0 = 0
-1 x -1 = ?
이 때 ?는 1이 되는 게 자연스럽다면서 귀납적이면서도 직관적으로 이해하게 만들더군요

귀납적 외삽법을 사용하면 받아들이기 쉬워요
-1 × 3 = -3
-1 × 2 = -2
-1 × 1 = -1
-1 × 0 = 0 여기까지 답이 1씩 커지는 모양을 확인할 수 있어요 따라서 다음식인
-1 × -1 = 1 과 같은 결과를 얻어낼 수 있죠!

오랜만에 영상 보는데 애니메이션 짱귀엽네 ㅋㅋㅋㄱㅋㅋㅋㅋㅋ

"강한 부정은 긍정이다."

선형대수학 처음 공부했을 때 굉장히 많은 성질들이 공리에서 척척 튀어나오는 걸 보고 감탄했던 기억이 새록새록 나네요 ㅎㅎ

당시 배울 떄는 그냥 그러려니 했는데 나중에 성인 되고 나니까 왜 음수끼리 곱하면 양수가 되는지 참 궁금했었죠
그리고 이 영상을 봐도 여전히 이해가 안되는 제 머리란..

근시는 가까이있는게 잘보이고 멀리있는게 안보이지만
노안은 멀리있는게 잘보이고 가까이있는게 안보이니까
근시인 사람이 노안이 오면 두개가 섞여서 오히려 시력이 좋아지나요?

수학은 어떤 진리라고 생각했었는데 이렇게 보니 편리를 위한 언어적인 도구였네요. 그렇게 생각하니까 ‘실제로 존재하지 않더라도’ 모순이 없다면 정의에 따라서 사용할 수 있다는 게 받아들여져요.

머리카락은 길게 자라는데 왜 팔과 다리에나는 털은 머리카락만큼 길게 안자라는지 궁금해요

해결됐다기보단... 응... 그렇구나... 하면서 어물쩡 넘어간 느낌...

3x1=3
3x0=0
3x(-1)=-3 이렇게 곱하는 숫자의 값이 1씩 작아 질때마다 똑같은 값 만큼 줄어드는 규칙이 있기때문에 음수에도 똑같이 적용 할 수 있음

와 나이거 요즘 궁금했던건데 딱나오네 신기하다 ㅋㅋㅋ